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Mathématiques

Question

Bonjour, j'ai un problème de Maths que je n'arrive pas à résoudre. Le voici : On considère f définie sur R par: f(x)= (e^x)-1 On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine O. Soit A le point de C d'abscisse 1 et M un point de C d'abscisse x, ou x appartient [0;1] Déterminer la (ou les) positions de M de façon à ce que l'aire du triangle OAM soit maximale.

(on peut s'aider d'un logiciels pour émettre des conjectures ou confirmer un résultat)
Toute trace d'aide même incomplète est la bienvenue merci !

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  • A(1;e-1) ; 0(0;0) et M(x;e^x-1)
    une équation de la droite (OA) est : (1-e)x+y=0
    soit H le projeté orthogonal de M sur (OA) . 
    alors la distance MH=I(1-e)x+e^x-1I/√(1+(1-e)²) . 
    Notons par A(x) , l'aire de triangle AOM . Alors A(x)=MH×OA/2
      or OA=√(1+(1-e)²) donc A(x)=MH/2=I(1-e)x+e^x-1I/2
    posons g(x)=(1-e)x+e^x-1 , g est dérivable sur [0;1] et pour tout x∈ [0;1] on a : 
    g'(x)=e^x+1-e 
    g''(x)=e^x>0 , donc g' est croissante . de plus g'(0)=2-e<0 et g'(1)=1>0 
    d'après le théoreme des valeurs intermédiaires il existe une unique nombre β tel que g'(β)=0 . 
    d'autre part g'(x)=e^x+1-e =0⇔e^x=e-1⇔x=ln(e-1)
    On en déduit donc : 
    pour x    ∈[0;ln(e-1)] ; g'(x)≤0 et pour tout x∈[ln(e-1);1] , g'(x)≥0 
    de plus g(0)=0 et g(1)=0 , donc g admet un minimum égal à 
    g(ln(e-1))=-e²-e-1<0 . 
    comme A(x)=Ig(x))I/2 on en déduit que A est maximal pour x=ln(e-1) et ce maximum vaut (e²+e+1)/2 . 
    Conclusion : le triangle OAM à une aire maximale pour M(ln(e-1);e-2)
    Bon courage !     J'espère que j'ai pu t'aider ? (^ _ ^)